Михаил Мурашко родился 9 января 1967 года в Свердловске. Окончил Уральский государственный медицинский институт (1992). Дважды доктор медицинских наук (специальности: «организация здравоохранения и общественное здоровье» и «акушерство и гинекология»). С 1992 по 1996 год работал врачом-интерном и врачом-гинекологом Республиканской больницы Республики Коми в Сыктывкаре. С 1996 по 1999 занимал пост главного врача Республиканского медицинского объединения. С 2000 по 2006 снова был главврачом Республиканского перинатального центра.С 2006 по 2011 год был региональным министром здравоохранения.В 2011 попал в коррупционный скандал.
Тогда обвинение в хищении денег на закупках томографов в Коми предъявили его подчинённому Сергею Кончицу. Следствие посчитало, что в 2009 году местный Минздрав, который тогда возглавлял Мурашко, переплатил 16 млн рублей на закупках медицинской техники. Мурашко проходил по этому делу свидетелем, и в этом качестве доказывал суду, что возглавляемое им министерство не тратило лишних бюджетных денег. В 2013 году сыктывкарский суд оправдал Кончица.В Москве в июле 2012 года Мурашко занял пост заместителя главы Росздравнадзора, а с марта 2013 года стал руководителем ведомства.В ноябре 2018 года Мурашко наградили медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени.